得了吧

这是我在《博弈论的诡计》上看到的“玛丽莲问题”。

1990年9月，美国畅销杂志《检阅》的“玛丽莲”专栏刊登了一道趣味数学题：有三扇门供选择，其中一扇门的后面是汽车，另两扇门后面都是山羊，你当然想选汽车．主持人先让你随意选，比如你选了一号门，这时主持人打开了三号门，门的后面是一只山羊，现在主持人问：“为了以较大概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？”

玛丽莲的答案是应该换，但是很多读者不同意。玛丽莲在下一期专栏给出一个事件列表说明她的道理，但反对声更多更大了。在几千封读者来信中，反对者达九成。其中有全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，甚至著名的美籍匈牙利数学家保罗·埃尔笛希（Paul Erdos，他的姓氏和“鄂尔多斯”的英文一样）也是反对者之一。

1991年2月17日，玛丽莲为此题目作了第三期专栏。她最后是这样说服大家的：假如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选一个，有车的概率确实都是50%。但你不是刚到，你有优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。

然而，事情远远没有结束。接下来的十几年里，“玛丽莲问题”在全球掀起了讨论热潮，相关网站就有数十个，很多网站还给出了测试程序（http://www.shodor.org/interactivate/activities/monty3/）。在国内，你可以在任何论坛或BBS找到关于“玛丽莲问题”的帖子，网友们吵得面红耳赤，不亦乐乎。不过总的来说，无论国内还是国外，都是赞同玛丽莲的人多。也就是说就大部分人认为换门后得到车的概率是2/3，所以应该换。他们编写的程序也确实证明了这一点。但是，仍有一部分人（包括以前的我）坚持认为，换不换无所谓，概率都是1/2。

事实上，换不换取决于：主持人是随机选的呢？还是故意打开有羊的门呢？

（１）如果主持人是随机选的，那么他和你的地位是等同的（都是随机选，先选后选无所谓），你们两个选到车的概率都是1/3，另一扇门后有车的概率也是1/3，所以换不换无所谓。
（２）如果主持人是故意打开有羊的门，那么他选到车的概率当然是0，而你选到车的概率还是1/3，这样另一扇门后有车的概率就是2/3，所以应该换。
这就是“2/3派”得势的理由。在编程的过程中，为了确保程序能进行下去，电脑模拟的主持人必须主动选择有羊的门，也就是情况2。这样一来，当然应该换。
例如，试验了300次。如果主持人主动选择有羊的门，那么300次试验都有效。其中100次你选中了车，200次你选中了羊，所以应该换。
但是，如果主持人是随机选的，那么他有1/3的机会选中车，这100次试验是无效的。剩下200次中，你100次选中了羊，100次选中了车，概率都是1/2，所以换不换无所谓。

本文作者：Feng
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